文 | 子鱼
编辑 | 贰沐 子鱼
上回书我们提到了432Hz和440Hz两种调弦方式哪个更好听，大家的反馈不尽相同。好听本身就是一个非常主观的东西，所以没有标准答案。今天的续集，完全从客观角度出发，简单聊聊乐器背后的声学小知识。
在钢琴里面，我们拿出下图的七个白键和五个黑键，一共12个按键，组成了一个八度（Octave）。每个按键之间相差一个半音（Semitone），每两个按键之间相差一个全音（Tone）。以C大调为例，白键的名字可能大家都比较熟悉，Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si七个音符（Note），也有国家叫CDEFGAB。黑键没有专属名字，一般用相邻音符加上升#（Sharp）/降b（Flat）来表示，比如图中从左数第一个黑键，可以称之为升Do=C#（跟程序语言C#没一毛钱关系），或者降Re=Db。
现在拓展到整个88键的钢琴上。把钢琴分成不同的区域，每个区域用不同颜色表示。可以看到，每个区域都重复着上图中的按键分布。从左到右，每个区域的某一个音都比左边的区域对应的音高一个八度，而频率为左边区域的二倍。
细心的观众可能会发现，这里出现了之前那篇文章的明星关键词，标准音A4。一目了然，A4在第四个八度的A（La）音符。那么，A4的频率是A3的两倍，是A5的二分之一。
当然，上边的结论并不是钢琴专属，也适用于其他乐器。比如吉他，六根线分别对应六个分散在三个八度里的不同音符，每品（图中的格子）之间的间隔对应钢琴每个按键之间的间隔，为一个半音。所以以六弦一品（F2）为例，想要弹高八度的F3，就顺着六弦往下弹第13品。
不同乐器，一视同仁
可能很自然的，我们会觉得钢琴从左弹到右，频率对应的线性从低到高。然而现实并不是这样。频率是随着音符升高呈指数增长的，也就是以对数尺度在增长。什么是对数尺度？也就是每个刻度之间的商为定值，而线性尺度每个刻度之间的差是定值。为什么要搞对数尺度？因为人耳对声音频率的感知就是对数尺度的。人耳对声音的感知这里就不展开讲了。
比如，我们在听C4-G4和C6-G6的时候，听到的区别不是它们之间的频率差，而是频率比。
下面这段视频感受一下。300Hz和600Hz的两段声音我们能明显听出区别，因为频率相差两倍，也就是相差一个八度；然而2300Hz和2600Hz的区别却并不明显，虽然同样相差300Hz，但是倍数只相差1.13倍，所以分辨起来比较困难。
那么再回到标准音A4：定完国际标准音A4 = 440 Hz之后，其他的音怎么算呢？高低八度的A好说，其他的音符呢？
我们刚才说到，由于人耳对频率的感知为对数尺度，而对数尺度下每个值之间为商/倍数关系，所以一个八度里面的十二个音之间的频率倍数差为 ，也就是一个每个音的频率是它前一个音的 。所以一个八度的十二个音相乘 ，就得到了和之前一样的结论，即相差一个八度的音之间频率相差两倍。这种等分方法被称为十二平均律（Equal temperament）。
所以，还是以88键钢琴为例，A4排行第49，所以以它为基准算其他所有音符的频率，可以参照下面公式：
随堂小测验：假设艺考生沈腾能从钢琴的最低音唱到最高音，请分别算出在A4 = 440Hz 和 432Hz的条件下，最低音和最高音分别对应的频率。
